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Ao ler o artigo, fiquei intrigado e tentei ver se era possível fazer a mesma coisa para polígonos com um número qualquer de lados, isto é, colocar núme- Lucas Chaves da Silva e Marcelo Ferreira ros naturais sobre os lados do polígono, respeitando as regras: Na RPM 65, foi publicado o artigo intitulado Ver 1. Apenas números inteiros e consecutivos a partir para crer, no qual foi proposto o seguinte problema: colocar os números inteiros de 1 a 9, sem repeti-los, sobre os lados de um triângulo equilátero, de modo 2. Em cada lado são distribuídos quatro números.
que a soma dos quatro números em cada lado seja 3. A soma dos números sobre os lados é uma cons-20. Veja algumas soluções apresentadas: Primeiramente, observamos que, se o polígono tem n lados, então utilizaremos os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, ., 3n, já que devemos colocar n números nos vértices e mais dois números em cada lado, to- 16 | no. 81 | revista do professor de matemática
talizando, então, n + 2n = 3n números.
de forma que a soma dos quatro números dos lados Agora surge a pergunta: será que podemos deter- seja a mesma, S = 2 + 6n.
minar alguma soma constante dos quatro números Como os números foram distribuídos de for- ma consecutiva nos vértices, pode-se tomar o lado Uma estratégia para encontrar uma solução (que em cujos vértices estão o maior, 2n, e o menor nú- não é única) é a seguinte: a média aritmética dos nú- mero, n + 1. Completamos esse lado colocando os meros da sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, ., 3n é igual a números obtidos subtraindo um do menor vértice 1+ 3n , pois os números são consecutivos.
(n + 1 – 1 = n) e somando um ao maior (2n + 1). Observe que 2n + (n + 1) + n + (2n + 1) = 6n + 2.
Essa média funcionará como uma “constante”, isto Nos outros lados, que têm nos vértices os núme- é, como se os números colocados sobre os lados fos- ros (n + 1) e (n + 2); (n + 2) e (n + 3), etc. colocar os dois números n – 1, n – 2, etc. até o número 1. Como cada lado, incluindo os vértices, tem qua- Completar os lados com o número que falta para a tro números, a soma em cada lado será denotada S soma resultar 6n + 2 (que serão 3n, 3n – 1, .).
Imagem de um octógono exemplificando o pro- Vejam que essa soma é a soma 20 pedida na RPM 65 para o triângulo (20 = 2 + 6 × 3).
Agora que já temos uma proposta para a soma de cada lado, vamos tentar criar uma estratégia para preenchimento dos vértices: Consideramos a soma de todos os números colocados nos lados (e nos vér-tices) do polígono, nS. Nessa soma estão repetidos os n números colocados nos vértices, que são con-tados duas vezes. Então, para obter a soma dos n números que estão nos vértices, basta subtrairmos de nS o valor da soma da sequência1, 2, 3, 4, 5, 6, ., 3n: Observação da RPM
Uma possível estratégia para preenchimento dos O processo descrito não é único. Há distribuições vértices, que obedece a soma igual a n( n 1 , é que obedecem às condições 1., 2. e 3. estabelecidas no início do texto e tais que os números colocados n + 1, n + 2, n + 3, ., n + (n – 1) e 2n, nos vértices não são os indicados acima e a soma dos números colocados sobre os lados é uma cons- tante diferente de 6n + 2, como mostra o exemplo: Resta, agora, criar uma estratégia para distribuir os outros dois números sobre os lados do polígono revista do professor de matemática | no. 81 | 17

Source: http://www.rpm.org.br/conteudo/81/paineis.pdf